Επικαιροτητα

Ένας μαθηματικός αναλύει: Πόσες πιθανότητες έχει να πιάσει κάποιος το Τζόκερ, το Κίνο ή το Λαχείο;

Τι πιθανότητες έχω να “πίασω” το Τζόκερ;

Πόσοι και πόσοι δεν έχουμε αναρωτηθεί: πόσες πιθανότητες εχω να πίασω το Τζόκερ; Τόσο δύσκολο είναι να είμαι εγώ αυτή την φορά ο τυχέρος; Κι όμως και τόσο δύσκολο και τόσο άδικο ως παιχνίδι. Πάμε να τα υπολογίσουμε με απλή συνδιαστική…


Θυμίζω οτι πρέπει απο τα 45 νούμερα θα πρέπει να “πετύχουμε” τα 5 και απο τα 20 πιθανά “τζοκερ” το ένα και μοναδικό που θα μας κάνει εκατομυριούχους.

Άρα απο τα “τζόκερ” έχουμε προφανώς 1/20 ως πιθανότητα για να το πετύχουμε.

Πάμε τώρα στα 5 νούμερα:

Για το πρώτο νούμερο που βγαίνει έχουμε 5 ευνοικές περιπτώσεις απο τα 45 δυνατά αποτελέσματα άρα 5/45.

Για το δεύτερο νούμερο αφού έχω πετύχει το πρώτο έχω 4 ευνοικές περιπτώσεις απο τα 44 πλέον δυνατά αποτελέσματα αφου το πρώτο έχει ήδη βγει και δεν μπορεί να ξαναεμφανιστεί. Αρα 4/44.

Για το τρίτο ακριβώς με την ίδια λογική 3 ευνοικές/43 δυνατές

Για το τέταρτο επίσης 2 ευνοικές/42 δυνατές

Και τέλος για το τελευταιο νουμερο θέλω αυτό το ένα νουμερο απο τα 41 που μπορούν να βγουν, άρα 1/41.

Εφόσον θέλω να ισχύουν όλα τα προηγούμενα ταυτόχρονα χρησιμοποιώ πολλαπλασιαστικό θεώρημα και συνολικά  έχω Ρ= 1/20χ5/45χ4/44χ3/43χ2/42χ1/41=  120/2932221600=   1/24435180

Δήλαδη έχω περίπου μία στα 24,5 εκατομμύρια να πίασω το “τζόκερ”.

ΥΓ: Και πάμε τώρα στην μεγάλη αδικία του ΟΠΑΠ. Στην θεωρία παιγνίων αλλά και στην κοινή μας λογική ένα παιχνίδι θεωρείτε δίκιο όταν, αν παίζω με μία στις χ πιθανότητες όταν κερδίσω με πλήρωνει χ φορές τα λεφτά μου. Πχ αν παίζουμε κεφάλι – γράμματα με ένα κέρμα, με 1 στις 2 προφανώς, αν προβλέψω το αποτέλεσμα και ποντάρω ένα ευρώ θα πρέπει να πληρωθώ 2 ευρώ.

Οπότε όταν παίζω τζόκερ με 1/24435180 πιθανότητες και ποντάρω 0,5 ευρώ στην νικητήρια στήλη θα πρέπει να κερδίσω 0,5 χ 24435180 = 12.217.590 ευρώ!!! Αντ’αυτού κάθε φορά που κάποιος υπερτυχερός καταφέρνει να βρεί τα σωστά νούμερα παίρνει περί το 1 εκατομμυριο ευρώ (αν ειναι ακόμα πιο τυχερός και δεν υπάρχει και καποιος άλλον τυχερός και πρέπει να τα μοιραστούν)

Πιθανότητες στο ΚΙΝΟ

Συνεχείς κληρώσεις κάθε πέντε λεπτά, θεωρητικά εύκολα κέρδη, μικρό κόστος συμμετοχής και πάει λέγοντας…

Είναι όμως δίκαιο σαν παιχνίδι; Μας αποφέρει  εύκολα κέρδη; Και τελικά αξίζει να ποντάρουμε εκεί τα χρήματα μας;


 Καταρχήν να ορίσουμε λίγο το παιχνίδι μας. Από έναν ηλεκτρονικό πίνακα που περιέχει 80 αριθμούς ένας τυχαίος (ή όχι για πολλούς) αλγόριθμος επιλέγει 20 νούμερα. Από την πλευρά μας μπορούμε να επιλέξουμε από 1 έως 12 αριθμούς με σκοπό όσο περισσότερα νούμερα «πετύχω» να αυξήσω τα κέρδη μου.

Το τι κερδίζω σε κάθε περίπτωση φαίνεται στον παρακάτω πίνακα όπως μας δίνετε από τον ιστότοπο του ΟΠΑΠ.

Ακούγονται καλές αποδόσεις, ειδικά στις υψηλές κατηγορίες  , αλλά το πρόβλημα μας είναι κατά πόσο είναι εύκολο να πετύχω τους αριθμούς και επίσης αν πληρώνομαι δίκαια με βάση τις πιθανότητες που παίζω.

Καταρχήν λοιπόν να δούμε πως θα υπολογίζουμε τις πιθανότητες να κερδίσω.  Να θυμίσουμε μόνο πως θα μετράω συνδυασμούς : Έχουμε δει και παλιότερα ότι αν θέλω  να μετρήσω πόσες διαφορετικές  χ-αδες υπάρχουν από ψ αριθμούς χρησιμοποιώ τον τύπο (ψ ανά χ) = ψ!/χ!*(ψ-χ)! όπου ! είναι φυσικά το παραγοντικό όπου ορίζεται ως χ!=1*2*3*4*…*χ-1*χ  . Πχ αν θέλω 5 αριθμούς να τους χωρίσω σε 3-αδες αν βάλω όπου ψ=5 και χ=3 μου δίνει (5 ανά 3)= 5!/3!*2!= 1*2*3*4*5/1*2*3*1*2= 120/12=10 διαφορετικές  τριάδες λοιπόν από 5 νούμερα. Δοκιμάστε το δια του λόγου το αληθές.

Άρα αφού επιλέγονται 20 αριθμοί σε κάθε κλήρωση από 80 πιθανούς οι διαφορετικές 20-αδες που μπορούν να εμφανιστούν είναι (80 ανά 20) = 80!/20!*60! = 3.535.316.142.212.174.320. Τρομερό νούμερο έτσι? Μία ζωή να παίζετε ΚΙΝΟ είναι σχεδόν βέβαιο ότι δεν θα δείτε την ίδια 20-αδα να εμφανίζεται δύο φορές.

Έστω τώρα ότι θα επιλέξω ψ αριθμούς και θέλω να πετύχω την πιθανότητα να πιάσω χ από αυτούς.

Ο τύπος που μας δίνει την πιθανότητα Ρ(ψ,χ) = (ψ ανά χ)*(80-ψ ανά 20-χ)/ (80 ανά 20). Δηλαδή αφού είναι δεσμευμένη πιθανότητα θα θέλω το πλήθος των περιπτώσεων να πετύχω από τους ψ που διάλεξα τους χ, επί το πλήθος των 80 –ψ που δεν διάλεξα να εμφανιστούν οι αριθμοί που δεν έχω επιλέξει , ως προς όλες τις πιθανές εικοσάδες.  

Για να δούμε κάποια ενδιαφέροντα παραδείγματα :

Πχ 1. Έστω ότι επιλέγω έναν αριθμό και ποια η πιθανότητα να τον πετύχω. Άρα ψ=1 και χ=1. Τότε

Ρ(1,1)= (1 ανά 1)*(79 ανά 19) / (80 ανά 20) = {(1!/1!*0!)*(79!/19!*60!)}/(80!/20!*60!)=

20!*60!*79!/19!*60!*80!= ¼ μετά από τις πράξεις. Άρα 25% πιθανότητα να συμβεί.

Πχ 2. Έστω ότι επιλέγω 8 αριθμούς και θέλω να υπολογίσω την πιθανότητα να πετύχω τους τρεις από αυτούς.

Ρ(8,3)= (8 ανά 3)·(72 ανά 17)/(80 ανά 20) = 32769072/152565985 = 21,47 %

Πάμε τώρα στο επόμενο κομμάτι. Κατά πόσο είναι δίκαιο σαν παιχνίδι. Στο πρώτο μου παράδειγμα βρήκα ότι παίζοντας έναν μόνο αριθμό έχω πιθανότητα ¼ να τον επιτύχω. Όπως έχουμε πει και στα υπόλοιπα παίγνια που μελετήσαμε θα πρέπει να με πληρώσει 4 φορές τα λεφτά μου για να θεωρείται δίκαιο. Αντιθέτως όμως βλέποντας τον πίνακα με τα κέρδη βλέπω ότι μου δίνει συντελεστή κέρδους 2,5. Μου κρατά δηλαδή 1,5 στα 4 ένα ποσοστό 37,5 %. Την λεγόμενη γκανιότα στα τυχερά παιχνίδια. Υπολογίζοντας σε όλες τις κατηγορίες τα ποσοστά αυτά  κινούνται σε ένα ποσοστό της τάξης του 31%. Δεν περιμέναμε βέβαια να πληρωθούμε ακριβώς τα χρήματα μας άλλα το ποσοστό κέρδους είναι μικρό. Για να το καταλάβουμε καλύτερα σκεφτείτε ότι ο ΟΠΑΠ ότι αριθμοί να παιχτούν, σε οποιουσδήποτε συνδυασμούς από τα συνολικά χρήματα που θα παιχτούν θα κρατήσει το 31%. Αναλογικά σε πληθυσμό μίας χώρας που παίζει μανιωδώς μιλάμε για τεράστια χρηματικά ποσά.

Ένα τελευταίο παράδοξο για να κλείσω αυτήν την ενότητα είναι το ποιες κατηγορίες πληρώνονται. Τι εννοώ: Έστω ότι επιλέξω να παίξω 12 νούμερα να επιτύχω τα 5 από αυτά. Υπολογίζοντας με βάση τα παραπάνω η πιθανότητα να γίνει αυτό είναι 9,93% περίπου ή σχεδόν 1 στις 10. Σε ένα λογικό παιχνίδι θα περίμενα να πάρω αν όχι 10 φορές τα λεφτά μου σίγουρα κάτι καλό. Ο ΟΠΑΠ τι με πληρώνει; ΤΙΠΟΤΑ!!! Θεωρεί ότι είναι εύκολο να συμβεί και δεν αξίζει να σε πληρώσει. Αντίστοιχα υπάρχουν και άλλα παραδείγματα σε άλλες κατηγορίες απλά επέλεξα ένα τυχαία.

Τέλος να σας δώσουμε ένα πίνακα με αθροιστικά όλες τις πιθανότητες σε κάθε κατηγορία για να γνωρίζετε με τι πιθανότητες αγωνίζεστε.

 Αν και μετά από αυτό συνεχίζεται να θέλετε να παίζετε ας σας δώσουμε κάποιες συμβουλές:

Τις μεγαλύτερες πιθανότητες επιτυχίας τις έχουμε αν επιλέγουμε 2 αριθμούς  με 43,98% έπειτα 4 αριθμούς με 25,89%, μετά 1 αριθμό με 25% όπως είδαμε και τέλος 7 αριθμούς με 23,65%

Τα μεγαλύτερα όμως επιστρεφόμενα κέρδη τα βρίσκω στις κατηγορίες των 7 αριθμών με 69,96% και των 4 με 69,02%.

Οπότε καλύτερα να επιλέγετε από αυτές τις κατηγορίες και πάντα παίζοντας με σύνεση χωρίς υπερβολές. Το τι αριθμούς θα επιλέγετε (σειρές, κάθετους, γεωμετρικά σχήματα ή οτιδήποτε άλλο ) είναι στο χέρι σας και μάλλον δεν υπάρχει κάποιο κόλπο. Σωστά;

Πιθανότητες στο κρατικό λαχείο

Προ ολίγες μέρες αλλάξαμε τον χρόνο . Λίγο πρίν την αλλαγή όμως είχαμε την κλήρωση του κρατικού λαχείου “κοινωνικής αντίληψης”. Παρακολουθώντας την, προκαλούν  ενδιαφέρον τα μεγάλα ποσά που ακούγονταν και οι πολλοί νικητές. Αξίζει τελικά; Τα διανεμόμενα κέρδη μας συμφέρουν ; Για να δούμε…


Καταρχήν ας δούμε τι πιθανότητες έχουμε να είμαστε ο ένας και μοναδικός που κέρδισε 4.000.000 ευρώ. 

Οι λαχνοί μας περιέχουν αριθμό σειράς και τον αριθμό του δελτίου. Συνολικά τυπώθηκαν 42 σειρές και κάθε αριθμός δελτίου μπορεί να είναι απο 00001 έως 99999. Άρα έχουμε 1 στις 42 για να επιτύχουμε την σειρά και 1 στις 99999 για να βρούμε τον ακριβή αριθμό. Χρησιμοποιώντας πολλαπλασιαστική αρχή έχουμε περίπου 1 στα 4.200.000 για να είμαστε εμείς ο μοναδικός λαχνός.Όχι και άσχημα.

Όμως κάθε φορά πρέπει να σκέφτομαστε και αν μας συμφέρει ως παίγνιο. Πληρώνοντας ανα λαχνό 5 ευρώ θα έπρεπε το αναμενόμενο κέρδος (αν το παιχνίδι ήταν πλήρως δίκαιο) να ήταν 5*4.200.000= 21.000.000 !!! Άρα όχι και τόσο δίκαιο αν μου δίνει πίσω περίπου το  19% απο όσα θα έπρεπε. 

Κλείνοντας αξίζει να δούμε πόσα κέρδη διανεμήθηκαν σε σχέση με πόσα έσοδα μαζεύτηκαν ώστε να δούμε αν δικαιολογείται ο τίτλος “κοινωνικής αντίληψης”. Με 4.200.000 δελτία που πωλήθηκαν και 5 ευρώ το καθένα μαζεύτηκαν 21.000.000 ευρώ.Βρίσκουμε τον πίνακα με τα διανεμόμενα κέρδη και για να μην κουράζουμε με συνεχής προσθέσεις αν αθροίσουμε τα ποσά βρίσκουμε 10.506.600. Αν σε αυτά προσθέσουμε και τα ποσά των 100 και 5 ευρώ που πέρνουν όσοι πετύχουν τους λίγοντες συνολικά μοιράστηκαν 11.724.600

Ποσοστό διανομενων κερδών 55,8%. Ο χαρακτήρισμός λοιπόν “κοινωνικής αντιληψης” είναι υπό συζήτηση αφού αν μη τι άλλο θα μπορούσαν να διατεθούν όλα, έστω και για μια φορά τον χρόνο.

BONUS: Το πιο δίκαιο τυχερό παιχνίδι; Η Ρουλέτα!

Μην σας παραξενεύει ο τίτλος. Κι όμως ισχύει! Το παιχνίδι που ακούγαμε απο μικροί ότι παίζουν μόνο οι  μεγάλοι τζογαδόροι και θεωρούταν κάποιος “καμμένος ή άρρωστος” αν παίζει,  είναι το πίο δίκαιο. Ας δούμε το γιατί ….


Συνεχίζοντας λοιπόν την μελέτη των τυχερών παιγνίων ασχολούμενοι με τις αποδόσεις κέρδους σύμφωνα με τις πιθανότητες που παίζουμε, θα δόυμε ότι είναι όντως το πιο δίκαιο με διαφορά απο όσα έχουμε δεί έως τώρα.

Να εξηγήσουμε για αρχή τους κανόνες. Ο παίχτης όπως βλέπουμε στο σχήμα, για βασικό ποντάρισμα επιλέγει να προβλέψει σε ποιόν αριθμό θα πέσει η μπίλια μετά το γύρισμα του γκρουπιέρη.

Έχει να επιλέξει απο το 0 εως το 36. Προφανώς λοιπόν αφού έχει 37 επιλογές η πιθανότητα να επιλέξει τον σωστό αριθμό είναι 1/37. Αν όμως το καταφέρει πληρώνεται 36 φορές τα λεφτά του! 36 στα 37! Ποσοστό διανεμόμενων κερδών   97,3 % ! Μας κρατά λοιπόν ενα ποσοστό 2,7% . Εξαιρετικά καλό αφού σε προηγούμενα παιχνίδια είδαμε να κρατιέται ποσοστό 30% και πάνω. 

Αν σκεφτούμε και τα λεγόμενα “πλευρικά” στοιχήματα τα πράγματα είναι ακόμα καλύτερα. Για παράδειγμα αν παίζουμε κόκκινο – μαύρο προσπαθώντας να μαντέψουμε αν ο αριθμός που θα έρθει θα είναι μαύρου η κόκκινου χρώματος εκτός του μηδέν όπου είναι πράσινο και χάνουμε αν έρθει ότι χρώμα και αν παίξουμε. Τότε αν έχουμε επιλέψει μαύρο έχουμε πιθανότητα 18/37= 48,6% και ενώ θα έπρεπε να παίζουμε με 50 – 50 . Μας κρατά λοιπόν 1,4 %. Εξαιρετικά μικρό σε σχέση με όλα τα προηγούμενα. 

Το μόνο κακό είναι το κόστος συμμετοχής. Ενώ στα άλλα παιχνίδια που μελετήσαμε σε κάποιο πρακτορίο ΟΠΑΠ αρκούν και 50 λεπτά για να παίξουμε, σε κάποιο καζίνο θα πρέπει να δαπανήσουμε τουλάχιστον 2,5 ευρώ ανα περιστροφή. Εκτός αν κάποιος παίζει μέσω ίντερνετ όπου το κόστος πέφτει πολύ, ακόμα και κάτω απο 0,50 ευρώ ανα γύρισμα. 

Κλέινοντας για να προλάβουμε τους κακοπροαίρετους, δεν συζητάμε καθόλου το κατα πόσο είναι “πειραγμένες” οι ρουλέτες και αν ο διοργανωτής μπορεί να προβλέπει που θα πάει η μπίλια, αν ο γκρουπιέρης ξέρει που θα πάει ή το επηρεάζει και γενικότερα αν είναι δίκαιο παιχνίδι απο άποψη εξωγενών παραγόντων.

Αν είναι όντως καθαρό παιχνίδι είναι σίγουρα ότι πιο δίκαιο υπάρχει απο άποψη επιστρεφόμενων κερδών σε σχέση με τις πιθανότητες που παίζουμε.